用Python实现傅立叶变换？这里有详细教程

傅立叶变换是众多学科中常用的一个工具，物理学家、数学家、工程师和计算机科学家都对其情有独钟。这个工具功能强大，不过使用起来却颇为复杂。在Python语言中实现傅立叶变换，既是一项挑战，也带来了不少乐趣。

傅立叶变换的地位和意义

傅立叶变换在多个科学领域都至关重要。在物理学中，特别是在信号处理方面，它的应用十分广泛。工程领域在分析复杂系统时，也高度依赖它。许多工程师在处理复杂信号时，都借助了傅立叶变换。此外，计算机科学家在进行数据处理、图像识别等算法研究时，也会用到它。在众多大型项目中，它的作用显而易见。它就像一把万能钥匙，能够打开众多解决问题的门。同时，随着科技的发展，越来越多的研究和项目都迫切需要它的支持。

 当函数及其傅立叶变换都被离散化的对应物所取代时，这被称为离散傅立叶变换（DFT）。离散傅立叶变换由于计算它的一种非常快速的算法而成为数值计算的重要工具，这个算法被称为快速傅立叶变换（FFT），这个算法最早由高斯（1805年）发现，我们现在使用的形式是由Cooley和Tukey公开的

定义相关函数

必须先明确傅立叶变换及其逆变换的函数定义。这些定义对复数函数的积分方式有明确规定，构成了傅立叶变换和逆变换的基础。这些公式并不简单，它们是计算实施的核心。在实际应用中，这些定义如同游戏规则，必须严格遵守。无论是学术研究还是实际工程计算，每个人都必须按照这些定义进行计算。只有准确理解，后续操作才能做到准确无误。

数值计算的困境与离散化需求

数值计算那些积分挺复杂的。尤其在高维度的情形中，问题会更明显。这时，离散化变得特别重要。离散化就像是把一个大问题拆成几个小问题来解决。这样原本复杂且难以处理的问题就变得简单些了。比如在处理大量数据时，离散化能将原本难以处理的计算分解成几个小部分，方便计算机操作和计算，从而提高效率。

离散傅立叶变换的关键

Numpy的文档提到，离散傅立叶变换是数值计算傅立叶分析的基础。这种变换有其特定的计算方式。在实施过程中，对序列和变量进行采样等步骤至关重要。在众多实时信号处理的应用场景中，数据不断更新变化，因此，快速进行离散傅立叶变换变得极为重要。它能快速处理所收集的数据，并给出有价值的信息。比如，在医疗设备监测人体生理信号时，这种高效的计算方式能确保及时获得准确的结果。

Python实现与验证

在Python编程中，启动个人编写代码的实践非常关键。举个例子，先对某个特定函数进行傅立叶变换的计算，然后绘制出相应的图形。在这个过程中，可以检查自己实现的效果。比如，通过对比不同取值范围的结果，比如采样值和连续体上的解。此外，还要检查傅立叶逆变换，将得到的结果与原函数进行对照。在众多科学实验中，当需要将数据转换成可视化的图形时，这样的实现和验证步骤是必须的，目的是为了保证结果的精确性和可信度。

 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 
 
 def fourier_transform_1d(func, x, sort_results=False):
 
     """
     Computes the continuous Fourier transform of function `func`, following the physicist's convention
     Grid x must be evenly spaced.
 
     Parameters
     ----------
 
     - func (callable): function of one argument to be Fourier transformed
     - x (numpy array) evenly spaced points to sample the function
     - sort_results (bool): reorders the final results so that the x-axis vector is sorted in a natural order.
         Warning: setting it to True makes the output not transformable back via Inverse Fourier transform
 
     Returns
     --------
     - k (numpy array): evenly spaced x-axis on Fourier domain. Not sorted from low to high, unless `sort_results` is set to True
     - g (numpy array): Fourier transform values calculated at coordinate k
     """
     x0, dx = x[0], x[1] - x[0]
     f = func(x)
     
     g = np.fft.fft(f) # DFT calculation
 
     # frequency normalization factor is 2*np.pi/dt
     w = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dx
 
     # Multiply by external factor
     g *= dx*np.exp(-complex(0,1)*w*x0) 
     
     if sort_results:    
         zipped_lists = zip(w, g)
         sorted_pairs = sorted(zipped_lists)
         sorted_list1, sorted_list2 = zip(*sorted_pairs)
         w = np.array(list(sorted_list1))
         g = np.array(list(sorted_list2))
         
     return w, g
 
 
 def inverse_fourier_transform_1d(func, k, sort_results=False):
     """
     Computes the inverse Fourier transform of function `func`, following the physicist's convention
     Grid x must be evenly spaced.
 
     Parameters
     ----------
 
     - func (callable): function of one argument to be inverse Fourier transformed
     - k (numpy array) evenly spaced points in Fourier space to sample the function
     - sort_results (bool): reorders the final results so that the x-axis vector is sorted in a natural order.
         Warning: setting it to True makes the output not transformable back via Fourier transform
 
     Returns
     --------
     - y (numpy array): evenly spaced x-axis. Not sorted from low to high, unless `sort_results` is set to True
     - h (numpy array): inverse Fourier transform values calculated at coordinate x
     """
     dk = k[1] - k[0]
     
     f = np.fft.ifft(func) * len(k) * dk /(2*np.pi)
     x = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dk
 
     if sort_results:    
         zipped_lists = zip(x, f)
         sorted_pairs = sorted(zipped_lists)
         sorted_list1, sorted_list2 = zip(*sorted_pairs)
         x = np.array(list(sorted_list1))
         f = np.array(list(sorted_list2))
     return x, f

参考资料的价值

对于想要深入了解机器学习基础计算和算法的学者来说，Numpy和SK-learn的资源就像是一座宝库。这些资料不仅展示了方法的具体应用，而且包含了详细的解释。例如，文章中许多数学公式和理论都来源于Numpy的相关资料。在众多大专院校的学生进行相关课题研究时，这些资料是必不可少的参考资料。

熟悉了Python中傅立叶变换连续函数的诸多要点，你是否已经迫不及待，想要亲自动手实践？期待你能为这篇文章点赞、分享，并留下你的宝贵建议。

 N = 2048
 
 # Define the function f(x)
 f = lambda x: np.where((x >= -0.5) & (x <= 0.5), 1, 0)
 x = np.linspace(-1, 1, N) 
 plt.plot(x, f(x));